Jensen's Inquality

함수의 볼록성(convex)에 따라 기대값과 함수 적용 순서에 따른 부등식이 결정된다.

{E [g (X)] \geq g (E [X]) E [h (X)] \leq h (E [X]) for convex for concave

Proof

볼록 함수는 어떤 점에서 접선을 그어도 그 접선은 항상 함수 그래프 아래에 놓인다.
1. 함수를 $g (x)$ , 그리고 어떤 점을 $μ = E [X]$ 라 하고
2. 접선의 방정식을 $y = a + b X$ 라 하면
1번에 의해 $g (x) \geq a + b X$ 이고, 양변에 기대값을 취하면

E [g (X)] \geq E [a + b X] = a + b μ = g (μ) = g (E [X])